日前，北京理工大學物理學院張向東教授課題組和信息與電子學院孫厚軍教授課題組合作，在拓撲電路和高階拓撲態研究方面取得重要進展。相關系列研究成果發表在近期的Phys.Rev.Lett.以及Phys.Rev.BRapidCommunications(Editor’sSuggestions)上，系列研究工作得到了國家自然科學基金委和國家重點研發計劃的資助。

探究固體材料和經典波系統的拓撲性質是近幾年研究的熱點。基于體邊緣對應定理，大多數N維拓撲系統都支持N-1維的邊界態。最近，一類由對稱性保護的高階拓撲絕緣體被提出，它們支持更低維度的拓撲邊緣態并且遵從更一般化的體邊緣對應定理[Science357,61(2017)]。自2017年高階拓撲態的理論方案被提出后，在量子材料和經典人工系統中觀察高階拓撲相的報道陸續出現。然而由于眾多實驗上的限制，起初的工作都只局限于二維周期系統中的高階拓撲相，包括體四極子以及邊界偶極子誘導的零維角態。實現三維甚至更高維度的高階拓撲物態以及在無序系統中探索高階拓撲相的存在具有一定的挑戰性。

基于凝聚態物理系統中晶格與電子線路網絡的一致性，通過設計經典電路可以模擬凝聚態體系中新奇的微觀效應。相比于固體材料和一些其它的經典系統(如電磁波和聲波系統等)，經典線性電路具有靈活可重構的連接特性。同時，線性電路的性質是由電路網絡中端點連接的方式決定的，與線路的具體形狀和空間維度無關。因此，一些在凝聚態系統以及其它經典系統中很難實現的量子物態，有望在電路系統中被實現。近期，來自北京理工大學的研究團隊，利用經典電路平臺率先實現了三維八極拓撲相，四維高階拓撲相以及由無序引起的高階安德森拓撲相。

1.基于經典電路的三維八極拓撲相

圖1.(a).三維八極子電路樣品圖。(b).三維八極子電路理論模擬和實驗測量結果。

通過構造x,y,z三個方向的非互易反演對稱性，由體八極子誘導的三維八極拓撲相可以產生，該三維八極拓撲相支持拓撲保護的零維角態。實現三維八極拓撲相的經典類比需要在實空間構造正和負的格點耦合，該苛刻的要求很容易通過電路網格節點間電容和電感的連接來實現。進而，通過設計三維電路節點的連接和接地，由基爾霍夫方程導出的電路導納矩陣具有和支持體八極子緊束縛哈密頓量相同的形式。因此，所設計的經典電路可以展現八極子拓撲絕緣體的新奇性質。圖1a顯示了加工的電路樣品圖和其局域放大圖。通過測量電路角落節點的阻抗響應，能隙中的高階拓撲角態可以被驗證。理論模擬和實驗測量結果顯示在圖1b中。

2019年11月，相關工作在Phys.Rev.B上以RapidCommunications的形式發表[Phys.Rev.B,100201406(R)(2019)]。北京理工大學信息與電子學院博士生包嘉誠和物理學院博士生鄒德源為論文的共同第一作者。值得指出的是，在上述工作發表后，八極子拓撲絕緣體進一步在聲學[Nat.Commun.112108(2020),Nat.Commun.112442(2020)]和電路系統[Light:Science&applications9145(2020)]中進一步得到了驗證。

2.基于經典電路的四維十六極拓撲相

高維空間的拓撲物態通常具有眾多新奇的物理性質。然而，由于三維空間的限制，天然存在的量子材料和人工設計的經典結構都難以實現高于三維空間的拓撲物態。人造維度為人們在實驗上實現高維拓撲態提供了重要的途徑，但是目前的技術仍然具有一定的局限性，使得對很多高維拓撲物態的研究仍然停留在理論層面。因此，尋找能夠構造高維拓撲物態的新型平臺具有重要的意義。

經典電路的性質是由電路網絡中端點的連接方式決定的，與線路網絡的具體形狀和空間維度無關。因此，高維空間的電路網絡可以被投影到二維平面。通過在二維平面設計原始高維電路網絡的節點連接，可以在等效的二維電路網絡中實現高維電路的新奇效應。

圖2.(a)和(b)四維十六極子電路理論模型和實驗樣品圖。(c).拓撲及平庸電路的阻抗測量結果。(d).不同缺陷對四維十六極高階角態的影響。

基于這一優勢，研究者設計了由四維非互易反演對稱性保護的十六極拓撲絕緣體的經典電路類比。理論模型和樣品結構分別顯示在圖2a和2b中。通過對拓撲和平庸電路進行對比數值模擬和實驗測量，四維十六極子誘導的零維角態被驗證，相應的實驗結果顯示在圖2c中。另外，申請者也對不同形式的缺陷對高維高階拓撲態的影響進行了研究，發現只有特殊節點的缺陷會顯著影響高階角態的能譜特性，相關實驗結果顯示在圖2d中。

相關工作在Phys.Rev.B上以RapidCommunications的形式發表[Phys.Rev.B,100201406(R)(2019)]。該工作受到了編輯的高度評價，被選為Editors’suggestions。北京理工大學物理學院2015級博士生張蔚暄(現為信息與電子學院特立博士后)和物理學院博士生鄒德源為論文的共同第一作者。

3.基于經典電路的高階安德森拓撲相

一般來說，強的無序效應會使拓撲系統的能隙閉合，從而破壞拓撲相的存在。與該傳統的認識不同，2009年，來自香港大學的沈順清課題組理論證明無序可以誘導拓撲態的形成[Phys.Rev.Lett.102,136806(2009)]，并為其取名為安德森拓撲絕緣體。隨后，眾多課題組利用不同的系統對安德森拓撲絕緣體進行了實驗驗證。近期，隨著對高階拓撲絕緣體研究的深入，一個重要的問題是：高階安德森拓撲絕緣體是否存在；如果存在，如何對其進行實驗驗證。

近日，來自北京理工大學的研究團隊基于修正的Haldane模型(引入附加的晶格形變)，通過引入次近鄰耦合相位的無序效應，證明了高階安德森拓撲相的存在。相應的理論模型和計算結果顯示在圖3a中。從數值計算結果可以清晰的看到，隨著次近鄰耦合相位無序程度的增大，系統能隙會打開，并伴隨拓撲態的產生，綠色區域標記了零維角態存在的區域。另外，系統在該區域具有量子化的分數電荷，進一步證明了無序引起的高階拓撲效應。

上述晶格模型具有復雜的格點耦合，利用光、聲等人工結構構造其經典類比具有非常大的難度。為了解決這一問題，研究者結合‘編織’與‘非編織’的電路網絡節點耦合，分別實現了有效的次近鄰和最近鄰格點耦合。利用大小不同的耦合器件，構造了有效的晶格形變。所設計的樣品圖顯示在圖3b中。進一步，研究者通過控制無序‘編織’連接的電路網路節點比例，對所設計的電路系統引入不同強度的次緊鄰耦合無序。隨著無序強度的增加，研究者觀察到了無序引起的零維角態，證明了高階安德森拓撲相的存在。相應的實驗結果顯示在圖3c中。

圖3.(a)理論模型和計算結果；(b)安德森電路實驗樣品圖；(c)次緊鄰耦合相位引起的零維角態實驗測量結果。

相關工作在Phys.Rev.Lett.上發表[Phys.Rev.Lett.,126146802(2021)]。北京理工大學物理學院2015級博士生張蔚暄(現為信息與電子學院特立博士后)和博士生鄒德源為論文的共同第一作者。值得指出的是，近期兩篇相關的理論工作[Phys.Rev.Lett.125166801(2020);Phys.Rev.B103085408(2021)]同樣證明了無序引起的高階拓撲相的存在。